[냉혹한 뻘짓의 세계] #03. 왜 완전 음정은 1도 4도 5도 8도밖에 없을까?

음정과 관련된 글을 쓰다 궁금해져서?

나름의 뇌피셜을 오지게 굴려봤다.

 

 

그렇다.

할 짓 없는 방학 기간의 대학생의 모습이다.

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[ 완전 음정 (Perfect Intervals) ]

 

세상은 수학과 과학의 조합이다.

이과 극혐하는 여러분들께는 죄송하지만, 이게 사실인 것 같다.

어떤 현상이든 어떻게든 이놈의 수학자와 과학자란 양반들은 숫자와 기호로 표현하려 한다.

 

음악 역시 예외는 아니었는데, 현대의 음향학이 나오기 훨씬 이전의

고대 그리스에서, 이미 피타고라스라는 위대하신

스승이자 철학자이자 수학자이자 과학자이자 음향학자이자 교주이자

기타 온갖 수식어를 달고 다니시는 분이 주장한 바가 있었다.

"음악에서 가장 아름다운 비율은 3:2이다"

 

이로부터 파생된 음계가 잘 알려진 "피타고라스 음계"인데, 이건 나중에 다루도록 하자.

 

아무튼, 완전 음정은 완전 1도, 완전 4도, 완전 5도, 완전 8도만이 존재한다.

 

여기서, 완전 1도야 같은 음이니 그럴 수 밖에 없다 치자.

그런데 도대체 왜 완전 4도, 완전 5도, 완전 8도 역시 완전 음정으로 여겨지는 것일까?

 

 

우선, 같은 음정끼리의 주파수 비율은 당연히 1 : 1 이다.

C와 높은 C의 주파수 비율은 1 : 2 이다. (1 OCT 차이)

또한, C와 G의 주파수 비율은 2 : 3 이다. (C:E:G=4:5:6)

F와 C의 주파수 비율은 2 : 3 이다. (F:A:C=4:5:6)

 

이들의 최소 공배수는 1, 2, 6으로, 

예를 들어 C와 G만 놓고 본다면, "최소한 6번의 주기 중 한 번은 시작과 끝이 겹친다". 

 

여기서 주목할 점은, 완전 음정을 제외한 나머지 음정들은 상당히 복잡한 정수 비를 가지고 있다는 점이다.

대표적으로 C : D = 8 : 9 (최소 공배수 >> 72)

F : A = 4 : 5 (최소 공배수 >> 20)

C : B = 8 : 15 (최소 공배수 >> 120)

 

저기서 나타낸 (최소 공배수 >> 00) 가 작을수록 두 주파수가 겹치는 부분이 많아지므로

서로 유사한 특성을 공유할 가능성이 더 높다.

다시 말해, 최소 공배수가 작은, 즉 1:2나 2:3과 같은 간단한 주파수 비를 가진 관계가

8 : 15의 관계를 갖거나 더 복잡한 숫자의 비를 가진 관계보다 유사한 특성이 많으므로,

합성이 되었든 공진이 되었든 뭐가 되었든 좋은 울림을 만들어낸다는 뜻이다.

 

** 이는 킹갓피디아의 순정률 항목을 참고하자 **

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%9C%EC%A0%95%EB%A5%A0

대충 주기가 2pi와 3pi로 이루어진 두 함수.

위의 두 함수를 합성하면 이렇게 된다. 

위와 같은 이유로, 사실 F와 C의 관계가 C와 F의 관계보다 더 듣기 좋다.

왜냐하면 F4와 C5의 관계는 주파수 비가 2:3인 완전 5도 관계이지만,

C4와 F4의 관계는 주파수 비가 3:4인 완전 4도 관계이기 때문이다.

 

때문에 사람은 완전 4도보다는 완전 5도를 더 선호한다고도 하고,

이 때문에 "애매하면 그냥 완전 5도 음 때려넣어봐..."라는 말도 나오는 것이다.

(미리 말하지만, 이건 상황마다 악기마다 진짜 케바케다!! 악기는 사인 함수가 아니에요!)

 

근데 코드 분석할 때는 이게 은근 도움되긴 한다.

어차피 메이저나 마이너나 기음 + 완전 5도 사이에 3음이 온음이냐 반음이냐 차이니까...

 

그런데, 이렇게만 보면 이게 사인 함수에만 적용되는건지

모든 음에 적용되는건지 궁금해질 법도 하다.

 

만약 그런 내용이 궁금하시다면? 아래 내용을 확인해주시기 바란다.

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[ 푸리에 변환 (Fourier transform) ]

푸리에 급수(Fourier series)라는 것이 있다.

 

푸리에 급수의 가장 기초적인 개념은 다음과 같다 :

"모든 주기적인 주기 함수들을 반복적인 사인 함수의 합으로 나타낼 수 잇을걸?"

유도과정과 결과는 생략하겠다.

솔직히 나도 유도 과정까지는 안알아봤고, 아래의 더 일반적인 식이 중요하기에.

(중요한가?)

 

이 푸리에 급수는 "주기함수"에서만 적용되었는데, 그러면 뭔가 아쉽다.

하나의 식으로 세상의 모든 것들을 정의할 수 있으면 얼마나 편하고 간지날까?

그런 이유만은 아니겠지만, 아무튼 보다 일반적인 정리가 등장했으니,

 푸리에 변환(Fourier transform)되시겠다.

히이익 뭔가 굉장히 복잡한 것이와요!

괜찮다. 그냥 이렇게만 기억하자.

"어떤 함수를 주기 함수들(= sine wave)의 합으로 분해하여 표현할 수 있다"

 

바로 이런 원리로, 신시사이저의 기본적인 웨이브 테이블들(사인, 사각, 삼각, 톱니파)을

만들 수 있는데, 그건 여기에서, 부록 부분의 "Additive Synthesizer"부분을 참고하자.

 

그런데 갑자기 이게 왜 중요하냐구요?

음... 이번 글에서 다뤘던 내용이, 오직 사인 함수 뿐 아니라

온갖 파형에서도 비슷하게 적용될 것이라는 밑밥 정도로 봐주시면 감사하겠다.

 

:: 추가로? ::

 

추가로, 여기서 Note to Frequency 와 관련된 부분을 읽어보시면 좋을 것 같다.

계속 블로그 링크를 걸어대는데, 솔직히 똑같은 내용 또 쓰기 힘들다.

 

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사실 준비한 내용은 훨씬 많았으나, 뭔가 더 쓰다가는 내용이 산으로 갈 듯 하여 여기까지로 줄였다.

 

결론 : 이럴 줄 알았으면 음향학 전공을 할 걸 그랬지 (<< 빨궁)